F.J.M. Farley, Y.K. Semertzidis

在简短地介绍muon g-2的理论背景之后，我们详细回顾了历史上与此有关的所有测量。包括CERN cyclotron实验，CERN首次 storage ring 实验，BNL实验，magic energy的提出和 最近一次在BNL的 third muon storage ring 实验。最后比较了实验和理论的结果。

旋磁比 $g$ 是一个系统的磁矩（磁动量） (magnetic momentum) 和其角动量 (angular momentum) 与拉莫因子 ($e/2mc$) 的乘积之比

$$ \overrightarrow{\mu} = g \frac{e}{2mc} \overrightarrow{J} $$

对于只有轨道角动量 ($\overrightarrow{L}$) 的电子，$g=1$. 当Goudschmit 和Uhlenbeck提出自旋角动量 ($h/4\pi$, $\hbar/2$) 来解释反常塞曼效应 (anomalous Zeeman effect) 时， 人们没有想到，他的磁动量会是玻尔磁子 (Bohr magneton, $\mu_B = e\hbar/2mc$) 的两倍，也即g因子为2. 之后 ，狄拉克发现g值可以自然地从他的关于电子的相对论性运动方程中推得。 Kramers也从经典理论中得到了相同的结论。他发展了在运动系统中关于自旋运动的洛伦兹协变方程，和有加速度情形下的表达式比较，也能得到 $g=2$.

更惊讶的还在后面。实验测得的电子磁动量事实上稍稍偏大。也即$g=2(1+a)$.而这里的a就被定义为反常磁矩（反常磁动量）。它源于粒子周围的量子场的涨落。关于a的理论计算，以及 在实验上不断测得的更高的精度，都是推动QED发展的主要动力。 令人惊讶的是，发展出的电子的量子场理论竟能对a在实验中得到 0.02 ppm 的精度。其精度的限制来源于独立的物理量： 精细结构常数$\alpha$.

对于muon，其 ($g-2$)的测量也对其本质的认识起到了重要的作用：它是一个比电子重约2000倍的轻子，符合QED的预期。实验上，对($g-2$)的测量由在CERN的前赴后继的三个实验和在BNL 的最近一次实验得到。现在已经能达到(对a) 0.7 ppm的精度。 同时，理论上对($g-2$)的预言也随着对QED高阶计算的突破而提高。virtual hardron对($g-2$)的贡献也被重新理清。

故事开始于1956年。那时电子的反常磁动量 $a\equiv(g-2)/2$已经被Crane等人精确测量。 Berestetskii 等人指出，QED中对动量传播子$q^2=\Lambda^2$的费曼截断能对质量为m的粒子 降低为

$$ \delta a / a = (2m^2/3\Lambda^2) $$

/*

事实上，对于任意的理论贡献$a_{had}, a_{EW}, a_{QED}, a_{NP}$ 均有

$$ \delta a_{contri.} = (m^2/\Lambda^2) $$

*/

All electromagnetic phenomena are explained in terms of electric charges and their currents.

所有的电磁现象都可以被纳入电荷极其产生的电流的框架内。

对于一个拥有磁二级矩和电二级矩的粒子而言，其电磁相互作用的哈密顿量为

$$ H = -\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B} - \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{E} $$

其中 $$ \overrightarrow{\mu}=g\frac{e}{2mc}\frac{1}{2}(\frac{h}{2\pi})\overrightarrow{\sigma} = (g/2)\mu_0\overrightarrow{\sigma} $$ $$ \overrightarrow{d}=\eta\frac{e}{2mc}\frac{1}{2}(\frac{h}{2\pi})\overrightarrow{\sigma} = (\eta/2)\mu_0\overrightarrow{\sigma} $$

一个更为概括性的规律是，对于一个宇称确定的系统，奇数阶的电矩（二级、六级）和偶数阶的磁矩（四级、八级）都必须为0.

$$ a^{QED} = A(\alpha/\pi) + B(\alpha/\pi)^2 + C(\alpha/\pi)^3 + \dots $$

目前最精确的精细结构常数值来自于电子($g-2$)的测量 $$ a^{-1} = 137.035\ 999\ 58 (52) (0.004\ \rm ppm) $$

将其数值带入muon $a^{QED}$表达式即可得到$a^{QED}$.

$$ a^{HAD1} = \frac{1}{4\pi^3}\int^{\infty}_{4m^2_{\pi}}\sigma(s)(e^+e^- \to\mathrm{hadrons}) K(s) \mathrm{d}s $$

$$ R(s) = \frac{\sigma(e^+e^- \to\mathrm{hadrons})}{\sigma(e^+e^- \to\mu^+\mu^-)} $$

在磁场中静止的muon，其自选将按照角频率$\omega_s$旋转

$$ \omega_s = (g/2)\frac{eB}{mc} $$

相应的，衰变的电子的角分布也将按照同样的频率旋转。如果我们在一个指定方向测量衰变的电子数，计数率$N(t)$也将受到$\omega_s$的调制

$$ N(t) = N_0 \mathrm{exp}(-t/\tau)[1+A\mathrm{cos(\omega_s t +\phi)}] $$

该进动频率已经在磁场中被测量多次。磁场本身则可以由测量质子的自旋频率$\omega_p$来确定。比值$\lambda=\omega_s/\omega_p = \mu_\mu/\mu_p$也因此可以被确定。 当然，$\lambda=\omega_s/\omega_p$也可以由muonium的超精细结构来确定。

在低速下，电子（muon）在磁场中的轨道旋转频率$\omega_c=eB/mc$和几乎和其自旋的旋转频率是一样的。低速下，自旋的频率不受运动影响。两个频率之差反应了反常磁矩

$$ \omega_a \equiv \omega_s - \omega_c = (g/2)(eB/mc) - (eB/mc) = a(eB/mc) $$

Q: 为什么直接测量a比直接测量g（并和2比较）更精确？

精细结构常数