量子场论：多自由度体系的量子理论

• 量子场论：相对论性量子场论
• 多体理论：非相对论性量子场论

QCD在高能区呈现渐近自由（asymptotic freedom）和可微扰。低能区则（几个GeV以下）则具有非常强的非微扰特性。

格点量子场论，是将场变量定义在离散时空格点上的研究量子场论的方法。

格点QCD$\subseteq$格点场论。一般的格点场论可以用来讨论比较强的相互作用（从而非微扰效益非常明显）的场论系统。

在QCD的很多问题研究中（特别是低能区强子物理研究中），格点方法基本是是唯一的研究方法。因此格点QCD成为格点场论中的主流。

作为一种非微扰方法，需要包含两个层面；

• 对于要研究的量子场论系统必须有一个数学上严格的非微扰定义
• 能够以可操作的方式进行非微扰计算

1. 非微扰定义

非微扰定义存在–》总可以在某个参数比较小的时候对其展开，获得微扰定义。

反之一般不可。因为非平庸量子场论体系的微扰论一般属于不可收敛的渐进展开。

数学上如何定义量子场论：构造量子场论：从公理出发，数学上提出一个3+1闵氏时空中相互作用量子场论的构造性证明 （提供如何构建这个场论的方法）。

但目前QED，QCD，整个标准模型，都还无法纳入构造量子场论的框架。它甚至无法提供一个在3+1闵氏时空中非平庸场论的例子。 也即，我们目前所成功使用的量子场论在构造量子场论的意义下还没有数学上的严格定义。

主要原因：紫外发散，它意味着首先需要一个内禀紫外截断$\Lambda$将该理论正规化(regularization)。这一点对微扰论同样如此。

紫外阶段是量子场论定义（围绕和非微扰）中不可分割的一部分。

物理上看：无穷精细时空分辨率–》无穷大的能动量。

我们仅仅需要保证截断$\Lambda$对于在相对$\Lambda$低很多的能区所观察到的物理现象的影响足够小即可。现在使用的量子场论也仅仅是在某个有效紫外截断$\Lambda$之下才成立的一种有效场论。

既然紫外阶段是必须，那一种便利的方案就是格点正规化。对格点距离a，尺寸L的盒子

• 紫外截断$\Lambda\approx\pi/a$
• 红外截断$2\pi/L$

无穷多自由度的量子场论体系原则上可以定义为上述有限多自由度体系在a→0,$l->\infty$下的极限。这无疑是对QCD一个很好的非微扰定义。格点QCD甚至比其他量子场论(Weinbergy-Salam 模型）具有更好的构造量子场论基础。

2. 非微扰计算

MC 计算。大型计算机。

• 格点理论框架中费米子场是用Grassmann变量表示的。但计算机不能直接处理Grassmann数。因此必须将费米子场在路径积分框架下积分掉。–》出现费米子行列式。–》物理上代表费米子圈（海夸克）–》忽略掉（淬火近似 quenched approximation）。也称为价夸克近似。
• 八十年代，杂化MC算法( Hybrid MC, HC)