Binomial distribution in the experimental particle physics
\(P(A)=p\)
\(P(\bar{A})=1-p=q\)
这样的一次随机试验称为伯努利试验。其平均值和方差为：
\(E(X)=p, V(X)=p(1-p)\)
独立进行n次伯努利试验（n重伯努利试验），事件A的发生次数为r。
\(r=X_1+X_2+...+X_n\)
事件A发生r次的概率等于
\[B(r;n,p)=C_n^r p^r(1-p)^{n-r}\]
由于\(B(r;n,p)\) 恰好是二项式
\[(p+q)^n=\sum_{r=0}^nC_n^rp^rq^{n-r},q=1-p\]
展开式中的一项（(r+1)项），因此\(B(r;n,p)\)称为n,p的二项分布。且
\[\sum B(r;n,p)=\sum_{r=0}^nC_n^rp^r(1-p)^{n-r}=1\]
二项分布的性质：
\(B(r;n,p)=B(n-r;n,1-p)\)
\(B(r;n,p)\)随r的增加，先上升，然后单调下降(r=(n+1)p为极值)
- \(\frac{B(r;n,p)}{B(r-1;n,p)}=1+\frac{(n+1)p-r}{rq}\)
由于二项分布的随机变量r是n个独立的伯努利分布之和，由后者的均值和方差以及独立随机变量和的均值和方差关系，可以得到
- E(r)=np
- V(r)=np(1-p)
偏度和峰度系数（TBD）
对于随机变量r/n
- E(r/n)=E(r)/n=p
- V(r/n)=V(r)/n^2=p(1-p)/n
\(n->\infty\)，二项分布趋近于正态分布。均值np，方差npq。
在实验中，二项分布的参数p往往是未知的。需要由实验来确定。当试验次数n足够大，则r/n =p
V(r) = np(1-p) = r(1-r/n)
探测器的探测效率
计数实验。服从二项分布。n个粒子穿过探测器时，探测器记到r次计数的概率由二项分布描述。
探测效率\(\epsilon=p=r/n\)
\(V(\epsilon)=p(1-p)/n=\frac{\epsilon(1-\epsilon)}{n}\)
\(\sigma_\epsilon=\sqrt{\frac{\epsilon(1-\epsilon)}{n}}\)
\(\epsilon=0.5\)时，\(\sigma_\epsilon\)达到极大值\(0.5/sqrt(n)\)。